Будущий священник родился в семье железнодорожника в с. Меснянкино Льговского района Курской области 30 марта 1939 года. Родители погибли в 1941 году во время бомбёжки, поэтому воспитывался дядей – глубоко верующим человеком.
После окончания 8-летней школы и службы в армии, работал автослесарем. Вступил в брак в 1967 году. В 1976 году был принят алтарником Николаевской церкви города Курска, читал, пел на клиросе.
16 января 1977 года Преосвященным Хризостомом, епископом Курским и Белгородским, Алексей Переверзев был рукоположен во диакона, 27 февраля – во пресвитера и назначен настоятелем Свято-Троицкой церкви с. Верхняя Груня Кореневского района Курской области.
В 1979-1995 гг. священник проходил настоятельское служение на приходе Воскресенского храма с. Большие Угоны Льговского района Курской области.
С ноября 1995 года священник Алексей Переверзев был назначен клириком Сергиево-Казанского собора г. Курска, в сентябре 2001 года назначен на послушание клириком Курского Свято-Троицкого женского монастыря.
В августе 2016 года протоиерей Алексей был освобожден от несения послушания и почислен за штат в связи с достижением преклонного возраста и по состоянию здоровья с вынесением благодарности за многолетние пастырские труды.
Священноначалием Русской Православной Церкви за многолетнюю пастырскую деятельность протоиерей Алексей Переверзев был награжден многими иерархическими наградами священнослужителя, включая сан протоиерея, право ношения палицы и креста с украшениями. В 1989 году отец Алексей был награжден орденом святого князя Владимира III степени.
Протоиерей Алексей Переверзев останется в памяти как усердный пастырь, его любили прихожане, был уважаем собратьями-священниками Курской епархии.
Господь и Спаситель наш Иисус Христос да упокоит душу усопшего раба Своего новопреставленного протоиерея Алексея, простит ему согрешения вольные и невольные и дарует Царствие Небесное!
Отпевание новопреставленного протоиерея Алексея Переверзева состоялось 9 октября в Новодворском храме Свято-Троицкого женского монастыря г. Курска. Погребён новопреставленный на Южном кладбище.